NMAB21006U Lebesgueintegralet og målteori (LIM)

Årgang 2024/2025
Engelsk titel

Lebesgue Integral and Measure theory

Uddannelse

Bacheloruddannelsen i forsikringsmatematik
Bacheloruddannelsen i fysik
Bacheloruddannelsen i matematik
Bacheloruddannelsen i matematik-økonomi

Kursusindhold
  • Sigma-algebraer: definition og egenskaber, Borel sigma-algebraen.
  • Mål: definition og egenskaber, Lebesguemålet, sandsynlighedsmål.
  • Entydighed af mål, herunder Dynkinsystemer.
  • Målelige funktioner: definition og egenskaber.
  • Konstruktion af integralet (simple funktioner, positive funktioner, reelle funktioner og komplekse funktioner).
  • Konvergens sætninger: monoton og majoriseret konvergens, Fatou's Lemma, sammenhæng med Riemann integralet.
  • Funktioner defineret ved et integral, kontinuitet og differentiabilitet.
  • Funktionsrummet L^p, vigtige uligheder, fuldstændighed.
  • Produktmål. Tonelli og Fubinis sætninger.
Målbeskrivelser

De studerende forventes ved kursets afslutning at have viden om materialet nævt i kursusbeskrivelsen; færdigheder til at anvende dette materiale i andre kurser (hvor det er benyttet) og til at løse problemer i mål- og integralteori og vedrørende L^p-funktionsrummene. De studerende forventes desuden at have følgende kompetencer:

  • Behandle komplekse problemer indenfor analyse og målteori.
  • Være istand til at afgøre om et integrationsteoretisk argument er rigoristisk.
  • Forstå begrebet målelighed af mængder og funktioner.
  • Anvende sætninger om Lebesgueintegralet i konkrete situationer, herunder sætninger om linearitet og ombytning af integration og grænser.
  • Være istand til at håndtere dobbeltintegraler.
  • Kende L^p rum og være fortrolig med klassiske uligheder, som involverer p-normen.
  • Kan løse problemer i grænseområdet mellem målteori, integrationsteori,  og L^p-rum
Analyse 1 (An1) og Lineær Algebra (LinAlg)
5 timers forelæsninger og 4 timers øvelser pr uge. Endvideres tilbydes 2 times lektiecafe om ugen.
Undervisning i 7 uger.
Kurset er identisk med det nedlagte kursus NMAA05011U Analyse 2 (An2). Du kan altså ikke kan tage NMAB21006U - Lebesgueintegralet og målteori (LIM), hvis du allerede har bestået NMAA05011U Analyse 2 (An2).
Hvis du er registreret med eksamensforsøg i NMAA05011U Analyse 2 (An2)uden at bestå, skal du bruge dine sidste eksamensforsøg på at bestå eksamen i NMAB21006U - Lebesgueintegralet og målteori (LIM). Du har i alt tre eksamensforsøg.
  • Kategori
  • Timer
  • Forelæsninger
  • 35
  • Forberedelse (anslået)
  • 123
  • Teoretiske øvelser
  • 28
  • Eksamen
  • 20
  • I alt
  • 206
Løbende feedback i undervisningsforløbet
Point
7,5 ECTS
Prøveform
Skriftlig stedprøve, 3 timer med opsyn.
Løbende bedømmelse, (afleveringsopgave)
Prøveformsdetaljer
Evalueringen består af en 3-timers skriftlig prøve og en afleveringsopgave, som stilles ca midt i kurset.

Afleveringsopgaven tæller 35% af den samlede karakter, mens den skriftlige prøve tæller de resterende 65%.

Så længe den samlede karakter er bestået, er der ikke krav om, at prøverne skal bestås individuelt.

Ved den skriftlige prøve kan eksamensbesvarelsen ikke afleveres på et USB-stik.
Hjælpemidler
Alle hjælpemidler tilladt
Bedømmelsesform
7-trins skala
Censurform
Ingen ekstern censur
Én intern bedømmer
Reeksamen

Samme som den ordinære eksamen. Der stilles en ny en-uges afleveringsopgave 2-3 uger inden reeksamen. Den studerende kan vælge at beholde resultatet fra den oprindelige afleveringsopgave, eller at besvare den nye afleveringsopgave, hvorved at scoren fra denne vil tælle.

Kriterier for bedømmelse

Den studerende skal på tilfredsstillende måde godtgøre, at vedkommende lever op til fagets målbeskrivelse.