NMAA05069U Kompleks funktionsteori (KomAn)
Complex Analysis (KomAn)
Bacheloruddannelsen i matematik
- Simple egenskaber ved holomorfe funktioner, Cauchy-Riemann's ligninger.
- Summen af en potensrække er holomorf.
- Eksponentialfunktionen og de trigonometriske og hyperbolske funktioner af en kompleks variabel og deres potensrækker.
- Kurveintegraler og stamfunktioner i den komplekse plan.
- Cauchy's sætninger.
- Anvendelser af Cauchy's sætninger: Udvikling af holomorfe funktioner i potensrækker, harmoniske funktioner, lokal uniform konvergens, Liouville's sætning, algebraens fundamentalsætning.
- Argument, logaritme, potens.
- Nulpunkter og poler, meromorfe funktioner og Laurentrækker.
- Cauchy's residuesætning, Rouché's sætning og anvendelser vedrørende udregning af integraler and summen af uendelige rækker.
- Maksimumprincippet.
- Möbius transformationer.
Viden:
Beherske de fundamentale begreber holomorfi, Cauchy-Riemann's ligninger, komplekse kurveintegraler, stamfunktioner, nulpunkter, isolerede singulariteter, poler, essentielle singulariteter, residuer, harmoniske funktioner, Möbius transformationer, argumentvariation og omløbstal. Ovenstående omfatter både forståelse af det teoretiske indhold og evne til at afgøre om en bestemt egenskab gælder i konkrete eksempler.
Færdigheder:
To færdigheder er centrale: Opgaveløsning og matematisk
ræsonnement.
Ved kursets afslutning forventes studenterne at kunne følgende:
- Beherske beregninger med komplekse tal involverende addition, subtraktion, multiplikation, division, roduddragning, potensopløftning og grænseværdier.
- Udføre beregninger med potensrækker og kunne gøre brug af potensrækkerne for de elementære funktioner: de trigonometriske, de hyperbolske, logaritmer og eksponential funktioner.
- Bestemme værdien af konkrete integraler og summer baseret på Cauchy's sætninger, specielt residuesætningen.
- Afgøre punktvis, uniform og lokalt uniform konvergens af følger og uendelige rækker af holomorfe funktioner.
- Finde potensrækker og Laurentrækker for konkrete funktioner.
- Bestemme og klassificere nulpunkter og isolerede singulariteter.
Kompetencer:
De studerende forventes at have lært, at
- ideer og metoder fra kompleks analyse kan give en dybere forståelse af problemer fra reel analyse end det er muligt at opnå ved udelukkende at arbejde i det reelle område.
- der er vigtige forskelle mellem resultater i reel og kompleks analyse.
- beherske et vist antal nøgleresultater på en sådan måde, at de kan reproducere beviserne og anvende dem i logiske ræsonnementer på beslægtede problemstillinger.
- Kategori
- Timer
- Forelæsninger
- 35
- Forberedelse (anslået)
- 140
- Teoretiske øvelser
- 28
- Eksamen
- 3
- I alt
- 206
I løbet af kurset vil afleverede besvarelser af de obligatoriske opgavesæt blive rettet.
Som meritstuderende - klik her!
Som enkeltfags-studerende (efter- og videreuddannelse) - klik
her!
- Point
- 7,5 ECTS
- Prøveform
- Skriftlig stedprøve, 3 timer med opsyn.
- Prøveformsdetaljer
- 3 timers skriftlig prøve i to dele. Efter 90 minutter samles besvarelsen af første del.
- Krav til indstilling til eksamen
Godkendelse af to ud af tre opgavesæt
- Hjælpemidler
- Kun visse hjælpemidler tilladt
De første 90 minutter er uden hjælpemidler. De studerende bliver bedt om at reproducere udvalgte definitioner og beviser, samt eventuelt at løse opgaver i relation til disse.
I de sidste 90 minutter bliver de studerende bedt om at løse opgaver og de har nu adgang til at bruge skriftlige hjælpmidler.
- Bedømmelsesform
- 7-trins skala
- Censurform
- Ingen ekstern censur
Én intern eksaminator
- Reeksamen
Samme som ordinær eksamen med mindre der er 10 eller færre tilmeldt.
I så fald ændres reeksamen til en 30 minutters mundtlig eksamen med 30 minutters forberedelse, hvor skriftlige hjælpemidler er tilladt i forberedelsestiden.
Hvis ikke mindst to af de tre opgavesæt er godkendt inden den ordinære eksamen, skal alle tre opgavesæt genafleveres senest tre uger før begyndelsen af reeksamensugen. Af disse opgavesæt skal mindst to være godkendt senest to uger før begyndelsen af reeksamensugen.
Kriterier for bedømmelse
De studerende skal vise, at de har tilegnet sig en tilfredsstillende del af den viden, færdighed og kompetence, som er beskrevet.
Kursusinformation
- Sprog
- Dansk
- Kursuskode
- NMAA05069U
- Point
- 7,5 ECTS
- Niveau
- Bachelor
- Varighed
- 1 blok
- Placering
- Blok 2
- Skemagruppe
- A (tirs 8-12 + tors 8-17)
- Kursuskapacitet
- Ingen begrænsning – medmindre du tilmelder dig i eftertilmeldingsperioden (BA og KA) eller som merit- eller enkeltfagsstuderende.
Studienævn
- Studienævn for Matematik og Datalogi
Udbydende institut
- Institut for Matematiske Fag
Udbydende fakultet
- Det Natur- og Biovidenskabelige Fakultet
Kursusansvarlige
- Henrik Laurberg Pedersen (henrikp@math.ku.dk)