NMAA05011U Analyse 2 (An2)

Årgang 2013/2014
Engelsk titel

Analysis 2 (An2)

Uddannelse
Bacheloruddannelsen i matematik
Bacheloruddannelsen i forsikringsmatematik
Bacheloruddannelsen i matematik-økonomi
Bacheloruddannelsen i naturvidenskab og it
Kursusindhold
  • Sigma-algebraer: definition og egenskaber, Borel sigma-algebraen.
  • Mål: definition og egenskaber, Lebesguemålet, sandsynlighedsmål.
  • Målelige funktioner, definition og egenskaber.
  • Konstruktion af integralet (simple funktioner, positive funktioner, reelle funktioner og komplekse funktioner).
  • Konvergens sætninger: monoton og majoriseret konvergens, Fatou's Lemma, sammenhæng med Riemann integralet.
  • Funktioner defineret som et integral, kontinuitet og differentiabilitet.
  • Funktionsrummet Lp, vigtige uligheder, fuldstændighed.
  • Normerede rum, indre produktrum, fuldstændighed, Hilbertrum.
  • Ortonormalbaser, Gram-Schmidt ortogonalisering, projektionssætningen, Riesz-Frechet's sætning.
  • Ortogonaludvikling, Fourierrækker.
Målbeskrivelser
De studerende forventes ved kursets afslutning at have 
viden om materialet nævt i kursusbeskrivelsen;
færdigheder til at anvende dette materiale i andre kurser (hvor det er benyttet) og til at løse problemer i mål- og integralteori og i Hilbertrums teori. De studerende forventes desuden at have følgende
kompetencer:
  • Behandle komplekse problemer indenfor analyse og målteori.
  • Være istand til at afgøre om et integrations teoretisk argument er rigoristisk.
  • Forstå begrebet målelighed af mængder og funktioner.
  • Anvende sætninger om Lebesgue integralet i konkrete situationer, herunder sætninger om linearitet og ombytning af integration og grænser.
  • Kende Lp rum og være fortrolig med klassiske uligheder, som involverer p-normen.
  • Løse problemer vedrørende vektorrum med indre produkt, endelige såvel som uendelige.
  • Kan arbejde abstrakt og konkret med problemer, som involverer lukkede underrum og ortogonal komplementer i Hilbertrum.
  • Kan håndtere ortogonaludvikling.
  • Løse problemer i grænseområdet mellem målteori, integrationsteori, Hilbertrums teori og Fourier teori.
5 timers forelæsninger og 4 timers øvelser pr uge.
  • Kategori
  • Timer
  • Eksamen
  • 20
  • Forberedelse
  • 110
  • Forelæsninger
  • 40
  • Teoretiske øvelser
  • 36
  • I alt
  • 206
Point
7,5 ECTS
Prøveform
Løbende bedømmelse
Evalueringen består af to obligatoriske afleveringsopgaver, som vil tælle ligeligt i den endelige karakter.
Hjælpemidler
Alle hjælpemidler tilladt
Bedømmelsesform
7-trins skala
Censurform
Ingen ekstern censur
Én intern bedømmer
Reeksamen
Mundtlig 30 minutters prøve med 30 minutters forberedelse. Begrænset adgang til hjælpemidler. I forberedelseslokalet vil der være et eksemplar af lærebogen og noterne, son den studerende kan benytte. Den studerende må ikke selv medbringe nogen hjælpemidler. Ved eksaminationen må den studerende medbringe et stykke papir med noter som er nedskrevet i forberedelsestiden.
Kriterier for bedømmelse
Den studerende må på tilfredsstillende vis demomstrere, at han/hun behersker læringsmålene i kurset.