NMAA04013U Geometri 1 (Geom1)

Viden: Den studerende vil ved kursets afslutning vide, at kurver og flader i rummet kan behandles matematisk, og at overraskende resultater og dyb indsigt herved kan opnås.

Kompetencer: Løsningsmængder til systemer af ligninger givet ved differentiable funktioner i 3 variable gives en geometrisk fortolkning og danner udgangspunkt for studiet og forståelsen af den indre geometri af kurver og flader i rummet. Herved opnås en større og dybere forståelse for fundamentale matematiske objekter såsom funktioner, afbildninger, planen, rummet, afstande, Euklidiske rum samt mange videregående operationer involverende disse, ikke mindst differentiation og lineær algebra. Den studerende lærer at mange tilligere lærte definitioner og konstruktioner hart et geometrisk indhold, og omvendt, at geometriske objekter såsom flader i rummet kan beskrives og analyseres matemaisk. Endelig ses i eksempler hvorledes man ved passende formuleringer ledes til generaliseringer af begreber såsom funktioner og differentiation. Herved opnås endda en dybere forståelse af de oprindelige strukturer.

 

Færdigheder: Ved kursets afslutning forventes den studerende at:

Have udbygget sit kendskab til Euklidiske rum, specielt R^3.

Have udvidet sit kendskab til, samt udbygget sin fortrolighed med, fundamentale begreber fra analyse og lineær algebra herunder implicit givne funktioner.

Kunne beskrive og udregne geometriske størrelser forbundet med parametriserede kurver i R^3 og R^2.

Kunne beskrive og udregne geometriske størrelser forbundet med parametriserede flader i R^3.

Kunne beskrive og udregne geometriske størrelser forbundet med parametriserede kurver på parametriserede flader i R^3.

Kunne bevise påstande om kurver og flader i konkrete eksempler. Have kendskab til ``den indre geometri'' af en parametriseret flade samt, i specielle tilfælde, at kunne udregne størrelser hørende til denne. Kunne beherske beviset for, og indholdet af, TEOREMA EGREGIUM.

Kunne beherske begrebet isometri mellem parametriserede flader samt geodætisk kurve på en parametriseret flade.

Kunne beregne Euler-karakteristikken af en given triangulering af en konkret lukket flade.

Have kendskab til Gauss-Bonnet Sætningen.