Københavns Universitet - Kurser

NFYA05007U Analytisk mekanik og kaos

Årgang 2013/2014

Analytical Mechanics and Chaos

Kurset har interesse for enhver, der interesserer sig for fysikkens mere formelle sider, og for dem der ønsker at specialisere sig i teoretisk fysik. Kurset indfører metoder til en systematisk matematisk analyse af fysiske systemer og fortæller samtidigt historien om den generalisering af den klassiske Newton'ske mekanik, som har sat sit afgørende præg på den kvantemekaniske formalisme.

Den analytiske mekanik udvider den simple Newton'ske mekanik for punktformede partikler til at kunne håndtere systemer med mange frihedsgrader og mange "bindinger". Ved at indfører generaliserede koordinater omskrives bevægelsesligningerne til et sæt af Lagrange ligninger, som kun indeholder det nødvendige antal frihedsgrader. Denne formalisme videreudvikles ved indførelsen af kanoniske variable. De Hamilton'ske bevægelsesligninger udledes og efterfølges af kanoniske transformationer mellem forskellige sæt af generaliserede koordinater. Den Hamilton'ske teori har bidraget afgørende til formuleringen af kvantemekanikken, til en bedre forståelse af symmetrier og til den statistiske beskrivelse af mangepartikel systemer, og den leverer grundlaget for nutidens feltteoretiske metoder.

Målbeskrivelser

Færdigheder
Når kurset er færdigt forventes den studerende at kunne:

udvælge relevante generaliserede koordinater og opstille Lagrangefunktionen og de tilhørende ligninger for mekaniske systemer med "bindinger".
udlede og benytte Euler-Lagrange variationsregningsmetoden og anvende Lagrange-multiplikatorer.
formulere og udføre en Legendre transformation.
redegøre for teorien for Hamiltonfunktionen og benytte den på praktiske eksempler.
fremstille teorien for kanoniske transformationer og anvende den på simple systemer.
formulere Hamiltonteorien ved hjælp af Poissonparenteser.
opstille Hamilton-Jacobi teorien og anvende den på den én-dimensionale harmoniske oscillator.
redegøre for kaotisk opførsel af ulineære dynamiske systemer.

Viden
Den studerende trænes i at formulere den simplest mulige beskrivelse af et givent fysisk problem. Problemstillingerne vil hovedsagelig være fra den klassiske mekanik, men det særlige fokus på symmetribetragtninger og valg af nyttige frihedsgrader, etc. vil være til stor nytte i alle grene af fysikken. Enkelte problemer kan løses eksakt, men langt de fleste kræver approksimative metoder, ofte kombineret med en numerisk løsning, og især her er det vigtigt at ’effektivisere’ beskrivelsen ved valg af de rette frihedsgrader. Metoder til at finde de rette frihedsgrader trænes her gennem en række klassiske mekaniske eksempler.

Kompetencer
Kursets overordnede mål er at formulere de klassisk mekaniske læresætninger mere generelt ved hjælp af hhv. Lagrange- og Hamiltonfunktioner. Denne mere generelle formulering muliggør en mere systematisk løsning af mere komplekse mekaniske problemer og tillader mere generelle symmetribetragtninger som hjælp til at finde bevarede størrelser og derm de bedste koordinater til problemets approksimative beskrivelse. Denne mere generelle formalisme er hovedsagelig udsprunget af komplicerede problemstillinger indenfor mekanik, astronomi og optik, og har siden haft stor betydning for formulering af såvel kvantemekanikken som statistisk fysik, mangelegemefysik, kvantefeltteori, elasticitetsteori, hydrodynamik og ikke mindste teorien for kaos og dynamiske systemer. Kurset forventes således at bibringe den studerende en forståelse for de mere generelle principper, som forener den teoretiske formulering af de forskellige grene af fysikken.

Undervisningsmateriale

lærebog endnu uafklaret. Kontakt Jens Paaske, paaske@nbi.ku.dk.

Faglige forudsætninger

Svarende til de obligatoriske fysik-kurser på 1. år.

Undervisningsform

Forelæsninger m.m.

Arbejdsbelastning